Question

7．△ABC內一點O滿足$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=0$，直線AO交BC于點D，則（　　）

• A． $2\overrightarrow{DB}+3\overrightarrow{DC}=0$
• B． $3\overrightarrow{DB}+2\overrightarrow{DC}=0$
• C． $\overrightarrow{OA}-5\overrightarrow{OD}=0$
• D． $5\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=0$

Answer 1

分析 由已知得$\frac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{OB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則$\frac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，從而得到$\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，由此能求出2$\overrightarrow{DB}$+3$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{0}$．

解答 解：∵△ABC內一點O滿足$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，直線AO交BC于點D，
∴$\frac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{OB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
令$\overrightarrow{OE}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{OB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OC}$，則$\frac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，
∴B，C，E三點共線，A，O，E三點共線，∴D，E重合．
∴$\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，∴2$\overrightarrow{DB}$+3$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{OB}$-2$\overrightarrow{OD}$+3$\overrightarrow{OC}$-3$\overrightarrow{OD}$=-$\overrightarrow{OA}$-5$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$．
故選：A．

點評 本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真，注意平面向量運算法則的合理運用．