Question

15．已知函數f（x）=e^x+ax+b（a，b∈R）在x=ln2處的切線方程為y=x-2ln2．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若k為整數，當x＞0時，（k-x）f'（x）＜x+1恒成立，求k的最大值（其中f'（x）為f（x）的導函數）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數的導函數，由f'（ln2）=1求導a值，再由f（ln2）=-ln2求得b值，代入原函數的導函數，再由導函數的符號與原函數單調性間的關系確定原函數的單調區間；
（Ⅱ）把當x＞0時，（k-x）f'（x）＜x+1恒成立，轉化為$k＜\frac{{x{e^x}+1}}{{{e^x}-1}}$在x＞0時恒成立．令$g（x）=\frac{{x{e^x}+1}}{{{e^x}-1}}（{x＞0}）$，利用導數求其最小值得答案．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x+a，由已知得f'（ln2）=1，故e^ln2+a=1，解得a=-1．
又f（ln2）=-ln2，得e^ln2-ln2+b=-ln2，解得b=-2，
∴f（x）=e^x-x-2，則f'（x）=e^x-1，
當x＜0時，f'（x）＜0；當x＞0時，f'（x）＞0，
∴f（x）的單調區間遞增區間為（0，+∞），遞減區間為（-∞，0）；
（Ⅱ）由已知（k-x）f'（x）＜x+1，及f'（x）=e^x-1，
整理得$k＜\frac{{x{e^x}+1}}{{{e^x}-1}}$在x＞0時恒成立．
令$g（x）=\frac{{x{e^x}+1}}{{{e^x}-1}}（{x＞0}）$，$g'（x）=\frac{{{e^x}（{{e^x}-x-2}）}}{{{{（{{e^x}-1}）}^2}}}$，
當x＞0時，e^x＞0，e^x-1＞0；
由（Ⅰ）知f（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上為增函數，
又f（1）=e-3＜0，f（2）=e²-4＞0，
∴存在x₀∈（1，2）使得$f（{x_0}）={e^{x_0}}-{x_0}-2=0$，此時${e^{x_0}}={x_0}+2$
當x∈（0，x₀）時，g'（x）＜0；當x∈（x₀，+∞）時，g'（x）＞0
∴$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）=\frac{{{x_0}{e^{x_0}}+1}}{{{{（{{e^{x_0}}-1}）}^2}}}={x_0}+1∈（{2，3}）$．
故整數k的最大值為2．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數求函數的最值，考查分離變量法在求解恒成立問題中的應用，是中檔題．