Question

12．已知等差數列{a_n}的公差d≠0，其前n項和為S_n，若S₉=99，且a₄，a₇，a₁₂成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若${T_n}=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$，證明：${T_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S₉=99，求出a₅=11，由a₄，a₇，a₁₂成等比數列，求出d=2，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）求出${S}_{n}=\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n（n+2），從而$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，由此利用裂項求和法能證明${T_n}＜\frac{3}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）因為等差數列{a_n}的公差d≠0，其前n項和為S_n，S₉=99，
∴a₅=11，…（2分）
由a₄，a₇，a₁₂成等比數列，得${{a}_{7}}^{2}={a}_{4}{a}_{12}$，
即（11+2d）²=（11-d）（11+7d），∵d≠0，∴d=2，…（4分）
∴a₁=11-4×2=3，
故a_n=2n+1 …（6分）
證明：（Ⅱ）${S}_{n}=\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n（n+2），$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，…（8分）
∴${T_n}=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）]…（10分）
=$\frac{1}{2}$[1+$\frac{1}{2}-（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$]=$\frac{3}{4}-\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$$＜\frac{3}{4}$，
故${T_n}＜\frac{3}{4}$． …（12分）

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和小于$\frac{3}{4}$的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．