Question

18．已知函數f（x）=$\frac{a+blnx}{x-1}$（a，b∈R）在點 （2，f （2）） 處切線的斜率為-$\frac{1}{2}$-ln 2，且函數過點（4，$\frac{1+2ln2}{3}$）．
（Ⅰ）求a、b 的值及函數 f （x）的單調區間；
（Ⅱ）若g（x）=$\frac{k}{x}$（k∈N^*），對任意的實數x₀＞1，都存在實數x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜x₀，使得f（x₀）=f（x₁）=f（x₂），求k 的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出f（x）定義域為（0，1）∪（1，+∞），$f'（x）=\frac{{\frac{b}{x}（x-1）-（a+blnx）}}{{{{（x-1）}^2}}}$，由函數f（x）在點 （2，f （2）） 處切線的斜率為-$\frac{1}{2}$-ln 2，且函數過點（4，$\frac{1+2ln2}{3}$），列出方程組求出a，b，從而$f'（x）=\frac{{\frac{1}{x}（x-1）-（1+lnx）}}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{{-\frac{1}{x}-lnx}}{{{{（x-1）}^2}}}$記$h（x）=-\frac{1}{x}-lnx$，則$h'（x）=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{1-x}{x^2}$，利用導數性質能求出函數 f （x）的單調區間．
（Ⅱ）原問題轉化為f（x）＜g（x）在x∈（0，1）上恒成立，f（x）＞g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，從而$φ（x）=1+lnx-（1-\frac{1}{x}）k＞0$在x∈（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，由此利用導數性質能求出k的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=$\frac{a+blnx}{x-1}$（a，b∈R），
∴f（x）定義域為（0，1）∪（1，+∞），
$f'（x）=\frac{{\frac{b}{x}（x-1）-（a+blnx）}}{{{{（x-1）}^2}}}$…（1分）
∵函數f（x）在點 （2，f （2）） 處切線的斜率為-$\frac{1}{2}$-ln 2，且函數過點（4，$\frac{1+2ln2}{3}$）．
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（2）=\frac{b}{2}-a-bln2=-\frac{1}{2}-ln2\\ f（4）=\frac{a+bln4}{3}=\frac{1+2ln2}{3}\end{array}\right.$…（2分）
∴$\left\{\begin{array}{l}a+bln2-\frac{b}{2}=\frac{1}{2}+ln2\\ a+2bln2=1+2ln2\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right.$…（3分）
∴$f'（x）=\frac{{\frac{1}{x}（x-1）-（1+lnx）}}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{{-\frac{1}{x}-lnx}}{{{{（x-1）}^2}}}$
記$h（x）=-\frac{1}{x}-lnx$，則$h'（x）=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{1-x}{x^2}$，
h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
h（x）≤h（1）=-1＜0…（4分）
∴$f'（x）=\frac{{-\frac{1}{x}-lnx}}{{{{（x-1）}^2}}}＜0$恒成立，
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞減．…（5分）
（Ⅱ）由題得，原問題轉化為f（x）＜g（x）在x∈（0，1）上恒成立，
f（x）＞g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，…（6分）
即$φ（x）=1+lnx-（1-\frac{1}{x}）k＞0$在x∈（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，…（7分）
$φ'（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}=\frac{x-k}{x^2}$，
∴φ（x）在（0，1），（1，k）上單調遞減，（k，+∞）上單調遞增，…（8分）
當x∈（0，1）時，φ（x）＞φ（1）=1＞0…（9分）
當x∈（1，+∞）時，φ（x）≥φ（k）=lnk-k+2，∴lnk-k+2＞0…（10分）
記Φ（k）=lnk-k+2，則$Φ'（k）=\frac{1}{k}-1=\frac{1-k}{k}≤0$恒成立，
Φ（k）在k∈[1，+∞）上是減函數，…（11分）
Φ（3）=ln3-1＞0，Φ（4）=ln4-2＜0，
∴k的最大值為3．…（12分）

點評 本題考查實數值的求法，考查函數的單調區間的求法，考查實數的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質、構造法的合理運用．