Question

14．已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，M為線段AB的中點，O為坐標原點．AO、BO的延長線與直線x=-4分別交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）連接OM，求△OPQ與△BOM的面積比．

Answer 1

分析 （1）先根據拋物線方程求得焦點坐標，進而設出過焦點弦的直線方程，與拋物線方程聯立消去y，根據韋達定理表示出x₁+x₂，進而根據直線方程求得y₁+y₂，進而求得焦點弦的中點的坐標的表達式，消去參數k，則焦點弦的中點軌跡方程可得．
（2）求出P，Q的坐標，可得面積，即可求△OPQ與△BOM的面積比．

解答 解：（Ⅰ）設A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題知拋物線焦點為（1，0）
設焦點弦方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達定理：x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
所以中點M橫坐標：x=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$
代入直線方程，中點M縱坐標：y=k（x-1）=$\frac{2}{k}$．即中點M為（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）
消參數k，得其方程為：y²=2x-2，
當線段PQ的斜率不存在時，線段PQ中點為焦點F（1，0），滿足此式，
故動點M的軌跡方程為：y²=2x-2…（6分）
（Ⅱ）設AB：ky=x-1，代入y²=4x，得y²-4ky-4=0，
y₁+y₂=4k，y₁•y₂=-4，
聯立，得P（-4，-$\frac{16}{{y}_{1}}$），同理Q（-4，-$\frac{16}{{y}_{2}}$），…（9分）
|PQ|=4|y₁-y₂|，
∴S_△OPQ=8|y₁-y₂|，
又∵S_△OMB=$\frac{1}{4}$|y₁-y₂|，故△OPQ與△BOM的面積比為32．…（12分）

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．