Question

20．設(shè)當(dāng)x=α?xí)r，函數(shù)f（x）=3sinx+cosx取得最大值，則tan2α=$-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡(jiǎn)求解f（x）取得最大值的α的關(guān)系式．利用二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=3sinx+cosx=$\sqrt{10}$sin（x+φ），tanφ=$\frac{1}{3}$，∴cotφ=3，
當(dāng)x=α?xí)r，函數(shù)f（x）取得最大值，即α+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，
可得：α=2kπ+（$\frac{π}{2}$-φ），
那么：tanα=tan（2kπ+$\frac{π}{2}-$φ）=tan（$\frac{π}{2}$-φ）=cotφ=3，
則tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}=\frac{2×3}{1-9}=-\frac{3}{4}$．
故答案為：$-\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和輔助角的靈活運(yùn)用能力．屬于中檔題．