Question

8．在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)P（-1，0），其傾斜角為α，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中（取相同的長(zhǎng)度單位），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-6ρcosθ+1=0．
（Ⅰ）若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求α的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l經(jīng)過點(diǎn)P（-1，0），且傾斜角為α，可得直線l的參數(shù)方程，利用互化公式可得C的直角坐標(biāo)方程．由直線l與曲線C有公共點(diǎn)，可得△=64cos²α-32≥0，解出即可得出的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，利用參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)求x+y的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-6ρcosθ+1=0，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-6x+1=0
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)P（-1，0），其傾斜角為α，∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）
將$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$，代入x²+y²-6x+1=0整理得t²-8tcosα+8=0
∵直線l與曲線C有公共點(diǎn)，∴△=64cos²α-32≥0即$cosα≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$cosα≤-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∵α∈[0，π）∴α的取值范圍是$[{0，\frac{π}{4}}]∪[{\frac{3π}{4}，π}）$…（5分）
（Ⅱ）曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-6x+1=0可化為（x-3）²+y²=8
其參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）  …（7分）
∵M(jìn)（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，∴$x+y=3+2\sqrt{2}cosθ+2\sqrt{2}sinθ=3+4sin（θ+\frac{π}{4}）$
∴x+y的取值范圍是[-1，7]．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的運(yùn)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．