Question

16．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}+（{1-a}）x-alnx$．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設a＞0，證明：當0＜x＜a時，f（x+a）＜f（a-x）；
（3）設x₁，x₂是f（x）的兩個零點，證明：f′（${\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}$）＞0．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調性即可；
（2）令g（x）=f（a+x）-f（a-x），求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而證出結論即可；
（3）得到a＞0，從而f（x）的最小值是f（a），且f（a）＜0，不妨設0＜x₁＜x₂，則0＜x₁＜a＜x₂，得到0＜a-x₁＜a，根據（1），（2）結論判斷即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=x+1-a-$\frac{a}{x}$=$\frac{（x+1）（x-a）}{x}$，
若a≤0，則f′（x）＞0，此時f（x）在（0，+∞）遞增，
若a＞0，則由f′（x）=0，解得：x=a，
當0＜x＜a時，f′（x）＜0，
當x＞a時，f′（x）＞0，
此時f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增；
（2）令g（x）=f（a+x）-f（a-x），
則g（x）=2x-aln（a+x）+aln（a-x），
g′（x）=2-$\frac{a}{a+x}$-$\frac{a}{a-x}$=-$\frac{{2x}^{2}}{{a}^{2}{-x}^{2}}$，
當0＜x＜a時，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）遞減，
而g（0）=0，故g（x）＜g（0）=0，
故0＜x＜a時，f（a+x）＜f（a-x）；
（3）證明：由（1）得，a≤0時，函數y=f（x）至多有1個零點，
故a＞0，從而f（x）的最小值是f（a），且f（a）＜0，
不妨設0＜x₁＜x₂，則0＜x₁＜a＜x₂，
∴0＜a-x₁＜a，
由（2）得：f（2a-x₁）=f（a+a-x₁）＜f（x₁）=0，
從而x₂＞2a-x₁，于是$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$＞a，
由（1）得：f′（$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$）＞0．

點評 本題考查了利用導研究函數的單調性、分類討論、恒成立問題的等價轉化等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．