Question

15．O為原點的直角坐標系中，點A（4，-3）為△OAB的直角頂點，已知AB=2OA，且點B的縱坐標大于0
（1）求$\overrightarrow{AB}$的坐標；
（2）求圓C₁：x²-6x+y²+2y=0關于直線OB對稱的圓C₂的方程；在直線OB上是否存在點P，過點P的任意一條直線如果和圓C₁圓C₂都相交，則該直線被兩圓截得的線段長相等，如果存在求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=2OA，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AB}$=0，點B的縱坐標大于0，求$\overrightarrow{AB}$的坐標；
（2）求出圓C₂的方程，即可得出結論．

解答 解：（1）設$\overrightarrow{AB}$=（x，y），由AB=2OA，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AB}$=0…（1分）
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=100}\\{4x-3y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-8}\end{array}\right.$…（3分）
若$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=8}\end{array}\right.$，則y_B=-11與點B的縱坐標大于0矛盾
若$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-8}\end{array}\right.$，則y_B=5符合，即$\overrightarrow{AB}$=（6，8）…（4分）；
（2）C₁：x²-6x+y²+2y=0，即（x-3）²+（y+1）²=10，所以C₁（3，-1），r=$\sqrt{10}$…（6分）
∵$\overrightarrow{OB}$=（10，5），∴直線OB的方程為$\frac{1}{2}$x…（8分）
設C₂（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+1}{a-3}=-2}\\{\frac{b-1}{2}=\frac{1}{2}•\frac{a+3}{2}}\end{array}\right.$，∴a=1，b=3．
所以圓C₂的方程為（x-1）²+（y-3）²=10…（10分）
存在點P，根據圖形的對稱性，點P即為線段C₁C₂的中點，坐標為（2，1）…（12分）．

點評 本題考查圓與圓的位置關系，考查圓的對稱性，考查存在性問題的探求，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．