Question

18．已知橢圓C的兩個焦點是F₁（-2，0），F₂（2，0），且橢圓C經過點A（0，$\sqrt{5}$）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過橢圓C的左焦點F₁（-2，0）且斜率為1的直線l與橢圓C交于P、Q兩點，求線段PQ的長（提示：|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出橢圓方程；
（2）聯立方程組，利用根與系數的關系和弦長公式計算弦長．

解答 解：（1）由題意可知橢圓焦點在x軸上，設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\\{c=2}\\{b=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，∴a=3，b=$\sqrt{5}$．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（2）直線l的方程為y=x+2，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，得14x²+36x-9=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{18}{7}$，x₁x₂=-$\frac{9}{14}$，
∴|PQ|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{324}{49}+\frac{18}{7}}$=$\frac{30}{7}$．

點評 本題考查了橢圓的性質，弦長公式，屬于基礎題．