Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{2}{3}{x^3}+a{x^2}-（a-b）x+c$的兩個極值點分別為x₁，x₂，且x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-1，0），點P（a，b）表示的平面區(qū)域為D，若函數(shù)y=log_m（x+2）（m＞0，m≠1）的圖象經(jīng)過區(qū)域D，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （3，+∞）
• B． [3，+∞）
• C． （1，3）
• D． （1，3]

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點列出約束條件，利用線性規(guī)劃通過目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，求解m的范圍．

解答 解：由f'（x）=2x²+2ax-（a-b），故f'（x）=0的兩根分別為x₁，x₂，
由二次方程根的分布得$\left\{\begin{array}{l}4{a^2}+8（a-b）＞0\\ f'（-1）＜0，\;\\ f'（0）＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}b＜\frac{a^2}{2}+a\\ 3a-b-2＞0\\ a-b＜0\end{array}\right.$畫出該不等式組所表示的平面區(qū)域D，
當(dāng)函數(shù)y=log_m（x+2）的圖象經(jīng)過點（1，1）時，m=3，
因此當(dāng)1＜m＜3時函數(shù)圖象經(jīng)過區(qū)域D，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．