Question

1．在四棱錐P-ABCD中，E為棱AD的中點，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC=90°，ED=BC=2，EB=3，F為棱PC的中點．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）若二面角F-BE-C為60°，求直線PB與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC交BE于點M，連接FM，證明FM是△PAC的中位線，得出PA∥FM，證明PA∥面BEF；
（Ⅱ）證明PE⊥平面ABCD，PE⊥BE，PE⊥ED，以E為坐標原點，EB、ED、EP為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設PE=m，表示出$\overrightarrow{EB}$、$\overrightarrow{EF}$，求出平面BEF的一個法向量$\overrightarrow{n}$，取平面ABCD的一個法向量$\overrightarrow{a}$，利用cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{a}$＞是二面角的余弦值，求出直線PB與平面ABCD所成角的正切值．

解答 解：（Ⅰ） 證明：連接AC交BE于點M，連接FM，
∵AD∥BC，且BC=AE，∴AM=MC，
又PF=FC，∴線段FM是△PAC的中位線，
∴FM∥AP，
∵FM?面BEF，PA?面BEF，
∴PA∥面BEF；
（Ⅱ）∵AD∥BC，ED=BC，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
又∵∠ADC=90°，∴四邊形BCDE是矩形，∴AD⊥BE；
又PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，PE⊥ED；
以E為坐標原點，EB，ED，EP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，
設PE=m，則E（0，0，0），B（3，0，0），P（0，0，m），
C（3，2，0），F（$\frac{3}{2}$，1，$\frac{m}{2}$），
∴$\overrightarrow{EB}$=（3，0，0），$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{3}{2}$，1，$\frac{m}{2}$）；
設平面BEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{3x=0}\\{\frac{3}{2}x+y+\frac{m}{2}z=0}\end{array}\right.$；
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-$\frac{1}{2}$m，1），
取平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow{a}$=（0，0，1）；
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{n}|×|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{（-\frac{1}{2}m）}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}+1}}$，
由二面角F-BE-C為60°，得$\frac{1}{\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}+1}}$=$\frac{1}{2}$，解得m=2$\sqrt{3}$；
∵PE⊥平面ABCD，
∴∠PBE就是直線PB與平面ABCD所成角，
在Rt△PBE中，tan∠PBE=$\frac{PE}{BE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴直線PB與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了空間中直線與平面的位置關系以及線面角、二面角的計算問題，是綜合性題目．