Question

20．已知$f（x）=\frac{ax}{x+b}$，$f（1）=\frac{5}{4}$，f（2）=2，f[g（x）]=4-x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求g（x）的解析式；
（3）求g（5）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意列出方程組，求出a、b的值，可得f（x）的解析式；
（2）將g（x）作為一個整體代入f（x）的解析式，化簡后求出g（x）的解析式；
（3）將x=5代入g（x）可求出g（5）的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{ax}{x+b}$，且$f（1）=\frac{5}{4}$，f（2）=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{1+b}=\frac{5}{4}}\\{\frac{2a}{2+b}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=3}\end{array}\right.$，
則 $f（x）=\frac{5x}{x+3}$；
（2）由（1）得，f[g（x）]=$\frac{5g（x）}{g（x）+3}$=4-x，
解得$g（x）=\frac{12-3x}{1+x}$；
（3）由（2）得，$g（5）=\frac{12-3×5}{1+5}$=$-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數解析式的求解，以及方程思想、整體思想，屬于基礎題．