Question

8．若$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{f（x-5），x＞0}\\{{2^x}+\int_0^{\frac{π}{6}}{cos3tdt，x≤0}}\end{array}}\right.$，則f（2017）=（　�。�

• A． $\frac{1}{24}$
• B． $\frac{11}{24}$
• C． $\frac{5}{6}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據函數的周期性可得f（2017）=f（-3），再根據定積分計算即可

解答 解：當x＞0時，f（x）=f（x-5），
∴函數f（x）為周期函數，其周期為5，
∴f（2017）=f（404×5-3）=f（-3），
∴f（-3）=2^-3+${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$cos3tdt=$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{3}$sin3t|${\;}_{0}^{\frac{π}{6}}$=$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{11}{24}$，
故選：B．

點評 本題考查了分段函數的周期性以及定積分的計算，屬于基礎題．