Question

17．已知a₁，x，y，a₂成等差數列，b₁，x，y，b₂成等比數列．則$\frac{{{{（{{a_1}+{a_2}}）}^2}}}{{{b_1}{b_2}}}-2$的取值范圍是（　　）

• A． （0，2]
• B． [-2，0）∪（0，2]
• C． （-∞，-2]∪[2，+∞）
• D． （-∞，-1]∪[1，+∞）

Answer 1

分析 首先根據等比中項和等差中項得出a₁+a₂=x+y和b₁b₂=xy，再由均值不等式，討論xy＞0，xy＜0即可得出結果．

解答 解：∵a₁、x、y、a₂成等差數列，∴a₁+a₂=x+y，
∵b₁、x、y、b₂成等比數列，∴b₁b₂=xy，
則$\frac{{{{（{{a_1}+{a_2}}）}^2}}}{{{b_1}{b_2}}}-2$=$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$-2=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$．
若xy＞0，則$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$≥$\frac{2xy}{xy}$=2；
若xy＜0，則$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≤-2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$=-2．
故$\frac{{{{（{{a_1}+{a_2}}）}^2}}}{{{b_1}{b_2}}}-2$的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故選：C．

點評 此題考查了等比數列的性質和等差數列的性質，以及均值不等式的運用，考查討論思想和運算能力，屬于中檔題．