Question

10．函數y=lg（3-4x+x²）的定義域為M，x∈M時，求f（x）=2^x+2-3×4^x的值域．

Answer 1

分析 由題意可得M=（-∞，1）∪（3．+∞）；利用換元法和數形結合求函數的值域．

解答 解：由3-4x+x²＞0得，
x＞3或x＜1；
則M=（-∞，1）∪（3．+∞）；
又f（x）=2^x+2-3•4^x，
令t=2^x，則0＜t＜2或t＞8．
故y=g（t）=-3t²+4t，
作其函數圖象如下，
 
由圖象知，g（2）≤g（t）≤g（$\frac{2}{3}$）或g（t）＜g（8）；
即-4≤g（t）≤$\frac{4}{3}$，或g（t）＜-160；
故函數f（x）的值域為（-∞，-160）∪（-4，$\frac{4}{3}$]．

點評 本題考查了函數值域的求法．高中函數值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數法，4、判別式法；5、換元法，6、數形結合法，7、不等式法，8、分離常數法，9、單調性法，10、利用導數求函數的值域，11、最值法，12、構造法，13、比例法．要根據題意選擇．