Question

2．數列{a_n}中，${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}={3^n}-1$，則${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+…+{a_n}^2$等于（　　）

• A． 9ⁿ-1
• B． （3ⁿ-1）²
• C． $\frac{1}{2}（{{9^n}-1}）$
• D． $\frac{3}{4}（{{3^n}-1}）$

Answer 1

分析 由已知數列遞推式可得數列{a_n}是首項為2，公比為3的等比數列．進一步得到數列$\left\{{{a_n}^2}\right\}$是首項為4，公比為9的等比數列．再由等比數列的前n項和求解．

解答 解：∵${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}={3^n}-1$，n∈N*，
∴則 n=1時，有${a_1}={3^1}-1=2$，
當n≥2時，${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_{n-1}}={3^{n-1}}-1$，
兩式相減得，${a_n}={3^n}-{3^{n-1}}=2•{3^{n-1}}$，n≥2，
又n=1時，a₁=2適合上式，
∴${a_n}=2•{3^{n-1}}$，則$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2•{3}^{n}}{2•{3}^{n-1}}=3$．
故數列{a_n}是首項為2，公比為3的等比數列．
則數列$\left\{{{a_n}^2}\right\}$是首項為4，公比為9的等比數列．
因此${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+…+{a_n}^2=\frac{{4（{1-{9^n}}）}}{1-9}=\frac{1}{2}（{{9^n}-1}）$．
故選：C．

點評 本題考查數列遞推式，考查等比關系的確定，訓練了等比數列前n項和的求法，是中檔題．