Question

12．一拱橋的形狀為拋物線，該拋物線拱的高為h，寬為b，此拋物線拱的面積為S，若b=3h，則S等于（　　）

• A． h²
• B． $\frac{3}{2}$h²
• C． $\sqrt{3}$h²
• D． 2h²

Answer 1

分析 建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程，將點代入拋物線方程，即可求得拋物線方程，根據(jù)定積分的幾何意義，即可求得S．

解答 解：以拋物線的最高點為坐標(biāo)原點，以拋物線的拱的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線方程y=ax²，a＜0，
由拋物線經(jīng)過點（$\frac{3h}{2}$，-h），代入拋物線方程：-h=a（$\frac{3h}{2}$）²，
解得：a=-$\frac{4}{9h}$，
S=h×3h-（-2${∫}_{0}^{\frac{3h}{2}}$ax²dx），=3h²-2×$\frac{4}{9h}$×$\frac{1}{3}$x³${丨}_{0}^{\frac{3h}{2}}$=2h²，
故選D．

點評 本題考查拋物線的方程，定積分的幾何意義，利用定積分求曲邊梯形的面積，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．