Question

4．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數），以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=sinθ．
（Ⅰ）求曲線C₁的極坐標方程及曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知曲線C₁，C₂交于O，A兩點，過O點且垂直于OA的直線與曲線C₁，C₂交于M，N兩點，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數），利用平方關系可得普通方程．利用互化公式可得：曲線C₁的極坐標方程．曲線C₂的極坐標方程為ρ=sinθ，可得：ρ²=ρsinθ，利用互化公式可得：曲線C₂的直角坐標方程．
（II）聯立$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{ρ=sinθ}\end{array}\right.$，可得tanθ=2，設點A的極角為θ，則tanθ=2，可得sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則M$（{ρ}_{1}，θ-\frac{π}{2}）$，代入ρ=2cosθ，可得：ρ₁．N$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，代入ρ=sinθ，可得：ρ₂．可得：|MN|=ρ₁+ρ₂．

解答 解：（I）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數），
利用平方關系可得：（x-1）²+y²=1，化為x²+y²-2x=0．
利用互化公式可得：曲線C₁的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
曲線C₂的極坐標方程為ρ=sinθ，可得：ρ²=ρsinθ，可得：曲線C₂的直角坐標方程為x²+y²=y．
（II）聯立$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{ρ=sinθ}\end{array}\right.$，可得tanθ=2，設點A的極角為θ，則tanθ=2，可得sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
則M$（{ρ}_{1}，θ-\frac{π}{2}）$，代入ρ=2cosθ，可得：ρ₁=2cos$（θ-\frac{π}{2}）$=2sinθ=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
N$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，代入ρ=sinθ，可得：ρ₂=sin$（θ+\frac{π}{2}）$=cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
可得：|MN|=ρ₁+ρ₂=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．