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20.設實數m、n、x、y滿足m2+n2=a,x2+y2=b,其中a、b為正的常數,則mx+ny的最大值是(  )
A.$\frac{a+b}{2}$B.$\sqrt{a•b}$C.$\frac{2ab}{a+b}$D.$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$

分析 可利用三角換元求解.令m=$\sqrt{a}$cosα,n=$\sqrt{a}$sinα,x=$\sqrt{b}$cosβ,y=$\sqrt{b}$sinβ,將其代入mx+ny中,由三角函數公式和最值分析可得答案.

解答 解:令m=$\sqrt{a}$cosα,n=$\sqrt{a}$sinα,x=$\sqrt{b}$cosβ,y=$\sqrt{b}$sinβ,
則mx+ny=$\sqrt{ab}$cosαcosβ+$\sqrt{ab}$sinαsinβ=$\sqrt{ab}$cos(α-β)≤$\sqrt{ab}$,
當cos(α-β)=1時,取得最大值$\sqrt{ab}$.
故選B.

點評 本題主要考查求最值問題的解法,注意運用三角換元,注意利用基本不等式求最值的條件易忽略,屬于中檔題和易錯題.

練習冊系列答案
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