Question

9．記橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{{n{y^2}}}{4n+1}$=1圍成的區域（含邊界）為Ω_n（n=1，2，3…），當點（x，y）分別在Ω₁，Ω₂，…上時，x+y的最大值分別是M₁，M₂，…，則$\lim_{n→+∞}{M_n}$=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 將橢圓的標準方程轉化成參數方程，x+y=2cosθ+$\sqrt{4+\frac{1}{n}}$sinθ=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$sin（θ+φ），根據正弦函數的性質可知：（x+y）_max=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$=$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$．$\underset{lim}{n→∞}$M_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$=2$\sqrt{2}$．

解答 解：把橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{{n{y^2}}}{4n+1}$=1得，
橢圓的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{4+\frac{1}{n}}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
∴x+y=2cosθ+$\sqrt{4+\frac{1}{n}}$sinθ=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$sin（θ+φ），
由正弦函數的性質可知：當sin（θ+φ）=1時，x+y取最大值，
∴（x+y）_max=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$=$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$．
∴$\underset{lim}{n→∞}$M_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的參數方程，考查輔助角公式的應用，正弦函數的最值，考查數列極限的應用，考查計算能力，技巧性強，要求學生對高中所學知識的綜合應用，屬于難題．