Question

4．設函數f（x）=e^xsinπx，則方程xf（x）=f'（x）在區間（-2014，2016）上的所有實根之和為（　　）

• A． 2015
• B． 4030
• C． 2016
• D． 4032

Answer 1

分析 利用函數的導數，轉化方程的根為個函數的圖象的交點，利用對稱性求解即可．

解答 解：由f'（x）=e^x（sinπx+πcosπx）及xf（x）=f'（x）
得xe^xxinπx=e^x（sinπx+πcosπx）⇒（x-1）sinπx=πcosπx，
由此方程易知sinπx≠0，cosπx≠0，則有$tanπx=\frac{π}{x-1}$，
由于y=tanπx與$y=\frac{π}{x-1}$的圖象均關于點（1，0）對稱，
則在區間（-2014，2016）上的所有實根之和為2015×2=4030，
故選：B．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的零點個數以及求和，對稱性的應用，考查計算能力．