Question

16．已知橢圓$Γ：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，過點P（1，1）的直線l與橢圓Γ相交于A，B兩點，若弦AB恰好以點P為中點，則直線l的方程為4y+3x-7=0．（寫成一般式）

Answer 1

分析 將直線A，B坐標代入橢圓方程，作差，求得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1-}{y}_{2}）}{3}$=0，利用中點坐標公式，即可求得直線AB的斜率，根據直線的點斜式方程，即可求得直線l的方程．

解答 解：設A，B點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由A，B在橢圓上，則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{3}=1$②，
①-②得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1-}{y}_{2}）}{3}$=0，
由AB的中點坐標為P（1，1），即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
由直線AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
由直線的點斜式方程可知：y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），
整理得：4y+3x-7=0，
故答案為：4y+3x-7=0．

點評 本題考查直線和橢圓的位置關系，考查點差法求直線方程的方法，注意運用斜率公式和中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．