Question

5．若函數f（x）=xe^x-a有兩個零點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $（-\frac{1}{e}，+∞）$
• B． $（-\frac{1}{e}，0）$
• C． （-e，0）
• D． （0，e）

Answer 1

分析 求導，令f′（x）=0，解得：x=-1，令f′（x）＜0，求得單調遞減區間，令f′（x）＞0，求得函數的單調遞增區間，當x=-1時，函數取最小值f（-1）=-e-^x-a，函數f（x）=xe^x-a有兩個零點，則f（-1）=-e-^x-a＜0，a＞-$\frac{1}{e}$，由a≥0時，x∈（-∞，-1）時，f（x）=xe^x-a恒成立，不存在零點，即可求得a的取值范圍．

解答 解：由函數f（x）=xe^x-a的導函數f（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，即（x+1）e^x=0，解得：x=-1，
當x∈（-∞，-1）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（-1，+∞）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
故當x=-1時，函數取最小值f（-1）=-e^-1-a，
若函數f（x）=xe^x-a有兩個零點，則f（-1）=-e^-1-a＜0，
即a＞-$\frac{1}{e}$，
又a≥0時，x∈（-∞，-1）時，f（x）=xe^x-a恒成立，不存在零點，
故a＜0，
綜上可知：-$\frac{1}{e}$＜a＜0，
實數a的取值范圍（-$\frac{1}{e}$，0），
故選B．

點評 本題考查導數的與函數零點的應，考查利用導數求函數的單調區間及最值，考查導數求導法則的應用，屬于中檔題．