Question

10．已知平行于x軸的直線分別交曲線y=e^2x+1與y=$\sqrt{2x-1}$于A，B兩點，則|AB|的最小值為（　　）

• A． $\frac{5+ln2}{4}$
• B． $\frac{5-ln2}{4}$
• C． $\frac{3+ln2}{4}$
• D． $\frac{3-ln2}{4}$

Answer 1

分析 設A（x₁，a），B（x₂，a），用a表示出x₁，x₂，求出|AB|，令y=x²-lnx，利用導數求出單調區間和極小值、最小值，即可求出|AB|的最小值．

解答 解：設A（x₁，a），B（x₂，a），
則a=e^2x₁+1=$\sqrt{2{x}_{2}-1}$，
x₁=$\frac{1}{2}$（lna-1），x₂=$\frac{1}{2}$（a²+1），
可得|AB|=|x₂-x₁|=$\frac{1}{2}$|a²-lna+2|，
令y=x²-lnx，則y′=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）（x+\frac{\sqrt{2}}{2}）}{x}$，
函數在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上單調遞減，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上單調遞增，
可得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，函數y的最小值為$\frac{1}{2}$（1+ln2），
即有|AB|的最小值為$\frac{5+ln2}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查導數知識的運用：求單調區間和極值、最值，考查化簡整理的運算能力，正確求導確定函數的最小值是關鍵．