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8.已知y=$\frac{1}{3}{x^3}+b{x^2}$+(b+2)x+3是R上的單調函數,則b的取值范圍是(  )
A.-1≤b≤2B.b≤-1或b≥2C.-1<b<2D.b<-1或b>2

分析 三次函數y=$\frac{1}{3}$x3+bx2+(b+2)x+3的單調性,通過其導數進行研究,故先求出導數,利用其導數恒大于0即可解決問題.

解答 解:若函數y=$\frac{1}{3}$x3+bx2+(b+2)x+3是R上的單調函數,
則只需y′=x2+2bx+b+2≥0在R上恒成立
或y′=x2+2bx+b+2≤0在R恒成立即可;
而導函數對應的二次函數的圖象開口向上,
故y′=x2+2bx+b+2≤0在R不恒成立,
∴x2+2bx+b+2≥0恒成立,
∴△≤0,即b2-b-2≤0,
則b的取值是-1≤b≤2.
故選:A.

點評 本題考查函數的單調性及單調區間、利用導數解決含有參數的單調性問題,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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