Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{3}$+y²=1，已知定點E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點？請說明理由．

Answer 1

分析 把直線的方程與橢圓的方程聯立，轉化為關于x的一元二次方程，得到根與系數的關系，假設以CD為直徑的圓過E點，則CE⊥DE，將它們聯立消去x₁，x₂即可得出k的值．

解答 解：假若存在這樣的k值，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+3{y^2}-3=0\end{array}\right.$得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{12k}{{1+3{k^2}}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{9}{{1+3{k^2}}}\end{array}\right.$②
而${y_1}•{y_2}=（k{x_1}+2）（k{x_2}+2）={k^2}{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4$．
要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時，則$\frac{y_1}{{{x_1}+1}}•\frac{y_2}{{{x_2}+1}}=-1$，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0．
∴（k²+1）x₁x₂+2（k+1）（x₁+x₂）+5=0．　　　　　　　　　　　　　　　③
將②式代入③整理解得$k=\frac{7}{6}$．經驗證，$k=\frac{7}{6}$，使①成立．
綜上可知，存在$k=\frac{7}{6}$，使得以CD為直徑的圓過點E．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理求解．