Question

9．已知關(guān)于x的不等式$\frac{ax-6}{x-a}＜0$的解集為M．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求集合M；
（2）若2∈M且6∈M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）不等式|x-8|≥2的解集為S，若M∪S=R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式化為$\frac{2x-6}{x-2}$＜0，推出同解不等式，利用解不等式求得集合M；
（2）由2∈M且6∈M，推出不等式組，然后解分式不等式組，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）不等式|x-8|≥2的解集為S={x|x≤6或x≥10}，由M∪S=R，得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（6a-6）（6-a）≤0}\\{（10a-6）（10-a）≤0}\end{array}\right.$，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式$\frac{ax-6}{x-a}＜0$即$\frac{2x-6}{x-2}$＜0，其解集M=（2，3）．
（2）依題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a-6}{2-a}＜0}\\{\frac{6a-6}{6-a}＜0}\end{array}\right.$，解得a＜1或a＞6；
（3）不等式|x-8|≥2的解集為S={x|x≤6或x≥10}，
∵M(jìn)∪S=R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（6a-6）（6-a）≤0}\\{（10a-6）（10-a）≤0}\end{array}\right.$，∴a≥10．

點(diǎn)評 本題考查其他不等式的解法，元素與集合關(guān)系的判斷，考查分式不等式的解法，是中檔題．