Question

1．設函數y=f（x）的定義域為D，若對于任意的x₁，x₂∈D，當x₁+x₂=2A時，恒有F（x₁）+f（x₂）=2b，則稱（a，b）為函數y=f（x）圖象的對稱中心，研究函數f（x）=x³+sinx+1的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到f（-2016）+f（-2015）+f（-2015）+f（-2014）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）=（　　）

• A． 0
• B． 2016
• C． 4032
• D． 4033

Answer 1

分析 函數f（x）=x³+sinx+1的一個對稱中心為（0，1），由此利用倒序相加求和法能求出f（-2016）+f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）的結果．

解答 解：∵f（x）=x³+sinx+1，
∴f′（x）=3x²-cosx，f''（x）=6x+sinx，
∵f''（0）=0，f（x）+f（-x）=x³+sinx+1-x³-sinx+1=2，
∴函數f（x）=x³+sinx+1的一個對稱中心為（0，1），
即當x₁+x₂=0時，總有f（x₁）+f（x₂）=2，
∴f（-2016）+f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）
=2×2016+f（0）
=4033．
故選：D．

點評 本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數的對稱性的合理運用．