Question

6．某種商品在近30天內每件的銷售價格P（元）與時間t（天）的函數關系p=$\left\{\begin{array}{l}{t+20，0＜t＜25，t∈{N}^{*}}\\{-t+70，25≤t≤30，t∈{N}^{*}}\end{array}\right.$
該商品的日銷售量Q（件）時間t（天）的函數關系Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N^*）
求該商品的日銷售額的最大值，并指出日銷售額最大一天是30天中的第幾天？

Answer 1

分析 根據分段函數不同段上的表達式，分別求最大值最終取較大者分析即可獲得問題解答．

解答 解：當0＜t＜25，t∈N₊時，y=（t+20）（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900．
∴t=10（天）時，y_max=900（元），
當25≤t≤30，t∈N₊時，y=（-t+100）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900，
而y=（t-70）²-900，在t∈[25，30]時，函數遞減．
∴t=25（天）時，y_max=1125（元）．
∵1125＞900，∴y_max=1125（元）．
故所求日銷售金額的最大值為1125元，且在最近30天中的第25天日銷售額最大

點評 本題考查的是分段函數應用類問題．在解答的過程當中充分體現了分類討論的思想、二次函數球最值得方法以及問題轉化的能力．值得同學們體會反思．