Question

16．實數x，y滿足條件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{y≥m}\end{array}}\right.$，若目標函數z=2x+y的最大值與最小值的差為2，則m的值為2．

Answer 1

分析 作出不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{y≥m}\end{array}}\right.$，對應的平面區域，利用z的幾何意義，結合目標函數z=2x+y的最大值是最小值的差為2，建立方程關系，即可得到結論．

解答 解：作出不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{y≥m}\end{array}}\right.$，對應的平面區域如圖：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當直線y=-2x+z經過點A時，直線的截距最大，
此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{y=m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4-m}\\{y=m}\end{array}\right.$即A（4-m，m），
此時z=2×（4-m）+m=8-m，
當直線y=-2x+z經過點B時，直線的截距最小，
此時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{y=m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=m-1}\\{y=m}\end{array}\right.$，
即B（m-1，m），此時z=2×（m-1）+m=3m-2，
∵目標函數z=2x+y的最大值是最小值的差為2，
∴8-m-3m+2=2，
即m=2．
故答案為：2

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵．