Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，AD=AB=

2

，AB⊥BC，如圖把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．

（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若點M為線段BC中點，求點M到平面ACD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）通過勾股定理證明CD⊥BD．然后通過平面與平面垂直的性質定理證明CD⊥平面ABD．
（Ⅱ）通過點M為線段BC中點，點M到平面ACD的距離就是B到平面ACD的距離的一半，說明BA就是B到平面ACD的距離，求出結果即可．

解答： 解：（Ⅰ）證明：因為AD∥BC，BC=2AD，AD=AB=

2

，AB⊥BC，
所以BD=

AB2+AD2

=2，∠DBC=∠ADB=45°，
CD=

22+(2 2 )2-2×2×2 2 cos45°

=2，
BD²+CD²=BC²，所以CD⊥BD．
因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
所以CD⊥平面ABD．…（6分）
（Ⅱ）解：點M為線段BC中點，點M到平面ACD的距離就是B到平面ACD的距離的一半，
由（Ⅰ）可知：CD⊥平面ABD，
∴AB⊥CD，又AB⊥BC，BC∩CD=C，可得AB⊥平面ACD，
BA就是B到平面ACD的距離，
∵AB=

2

，∴點M到平面ACD的距離為：

2

2

．
得點M到平面ACD的距離為

2

2

．               …（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判斷，點到平面的距離的距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．