Question

9．在體積為72的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AC=4，AA₁=12．
（1）求角∠BAC的大小；
（2）若該三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，求球O的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三棱柱的體積公式，結合三角形的面積公式，求∠BAC的大小；
（2）畫出球的內接直三棱ABC-A₁B₁C₁，求出球的半徑，然后可求球的體積．

解答 解：（1）∵體積為72的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AC=4，AA₁=12，
∴$\frac{1}{2}×3×4×sin∠BAC×12=72$，
∴∠BAC=90°；
（2）如圖，由于∠BAC=90°，連接上下底面外心PQ，
O為PQ的中點，OP⊥平面ABC，則球的半徑為OB，
由題意，AB=3，AC=4，∠BAC=90°，所以BC=5，
因為AA₁=12，所以OP=6，
所以OB=$\sqrt{36+\frac{25}{4}}$=$\frac{13}{2}$
所以球的體積為：$\frac{4}{3}$π×OB³=$\frac{2197}{6}π$．

點評 本題考查球的體積和表面積，球的內接體問題，考查學生空間想象能力，是基礎題．