Question

10．已知函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，且a＞$\frac{1}{2}$．
（I）若函數f（x）在x=3處取得極值，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（II）若函數y=f（x）在[0，2a]上的最小值是-a²，求a的值．

Answer 1

分析 （I）首先對f（x）求導，且由f'（3）=0，即解得a=3．由題意知：f（0）=0，f'（0）=18，可寫成切線方程；
（II）對參數a分類討論，利用函數的單調性求出函數的最小值．

解答 解：（I）∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，
∴f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
由f'（3）=0，即解得a=3．
由題意知：f（0）=0，f'（0）=18．
所以，y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=18x．
（II）由（1）知，f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）
①當a=1時，f'（x）=6（x-1）（x-1）≥0，
∴f（x）_min=f（0）=0≠-a²．
故a=1不合題意；
②當a＞1時，令f'（x）＞0，則有x＞a或x＜1，令f'（x）＜0，則1＜x＜a
∴f（x）在[0，1]上遞增，在[1，a]上遞減，在[a，2a]上遞增；
∴f（x）在[0，2a]上的最小值為f（0）或f（a），
∵f（0）=0≠-a²，由f（a）=-a²
解得a=4；
③當$\frac{1}{2}$＜a＜1時，令f'（x）＞0，則有x＞1或x＜a，令f'（x）＜0，則a＜x＜1
∴f（x）在[0，a]上遞增，在[a，1]上遞減，在[1，2a]上遞增
∴f（x）_min=f（1）=-a²
解得a=$\frac{-3±\sqrt{13}}{2}$，與$\frac{1}{2}$＜a＜1矛盾．
綜上所述，符合條件的a的值為4．

點評 本題主要考查了利用導數求切線斜率與方程，利用導數判斷函數的單調性等知識點的，屬中等題．