Question

2．已知函數f（x）=$\frac{2^x}{{{2^x}+\sqrt{2}}}$．
（1）求f（x）+f（1-x）的值；
（2）若數列{a_n}滿足a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式；
（3）若數列{b_n}滿足b_n=2ⁿa_n，S_n是數列{b_n}的前n項和，是否存在正實數k，使不等式knS_n＞3b_n對于一切的n∈N^*恒成立？若存在，請求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由函數f（x）=$\frac{2^x}{{{2^x}+\sqrt{2}}}$，代入化簡，可得f（x）+f（1-x）=1，
（2）根據（1）中結論，利用倒序相加法，可得${a_n}=\frac{n+1}{2}$；
（3）根據（2）中結論，利用錯位相減法，可得S_n的表達式，進而再由孤立參數法，可得k的取值范圍；

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{2^x}{{{2^x}+\sqrt{2}}}$，
∴$f（x）+f（1-x）=\frac{2^x}{{{2^x}+\sqrt{2}}}+\frac{{{2^{1-x}}}}{{{2^{1-x}}+\sqrt{2}}}=\frac{2^x}{{{2^x}+\sqrt{2}}}+\frac{2}{{2+\sqrt{2}•{2^x}}}$=$\frac{2^x}{{{2^x}+\sqrt{2}}}+\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}+{2^x}}}=\frac{{{2^x}+\sqrt{2}}}{{{2^x}+\sqrt{2}}}=1$；…（3分）
（2）${a_n}=f（0）+f（\frac{1}{n}）+f（\frac{2}{n}）+…+f（\frac{n-1}{n}）+f（1）$①
∴${a}_{n}=f（1）+f（\frac{n-1}{n}）+f（\frac{n-2}{n}）+…+f（\frac{1}{n}）+f（0）$   ②
由（1），知f（x）+f（1-x）=1，
∴①+②，得2a_n=（n+1），
∴${a_n}=\frac{n+1}{2}$；  …（6分）
（3）因為${b_n}={2^n}{a_n}=（n+1）{2^{n-1}}$，
∴${S_n}=2•{2^0}+3•{2^1}+4•{2^2}+…+（n+1）•{2^{n-1}}$①
2S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，②
①-②得，$-{S_n}=2+2+{2^2}+{2^3}+…+{2^{n-1}}-（n+1）•{2^n}$
即${S_n}=n•{2^n}$，…（8分）
要使得不等式knS_n＞3b_n恒成立，
即2kn²＞3（n+1）對于一切的n∈N^*恒成立，
即$k＞\frac{3（n+1）}{{2{n^2}}}$對一切的n∈N^*恒成立，…（9分）
令$f（n）=\frac{3（n+1）}{{2{n^2}}}=\frac{3}{2}\frac{n+1}{{{{（n+1）}^2}-2（n+1）+1}}=\frac{3}{{2[（n+1）+\frac{1}{n+1}-2]}}$，
因為$t=（n+1）+\frac{1}{n+1}$在n∈N^*是單調遞增的，
∴$t=（n+1）+\frac{1}{n+1}$的最小值為2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴$f{（n）_{max}}=\frac{3}{{2（\frac{5}{2}-2）}}=3$，
∴k＞3．…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數與數列的綜合應用，數列求和，函數恒成立問題，難度較大，屬于難題．