Question

17．若數列{a_n²}是等差數列，則稱數列{a_n}為“等方差數列”，給出以下判斷：
①常數列是等方差數列；
②若數列{a_n}是等方差數列，則數列{a_n²}是等差數列；
③若數列{a_n}是等方差數列，則數列{a_n²}是等方差數列；
④若數列{a_n}是等方差數列，則數列{a_2n}也是等方差數列，
其中正確的序號有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根據“等方差數列”的定義，我們逐一判斷可得答案．

解答 解：①常數列既是等方差數列，又是等差數列；
依題a_n+1²-a_n²=a_n²-a_n-1²
⇒（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
又{a_n}為等差數列，設公差為d，
則-d（a_n+1+a_n-a_n-a_n-1）=0⇒2d²=0⇒d=0
故{a_n}是常數列．
②③：∵{a_n}是等方差數列，∴a_n²-a_n-1²=p（p為常數）得到{a_n²}為首項是a₁²，公差為p的等差數列；
∴{a_n²}是等差數列，故②正確，③不正確；
④：數列{a_n}中的項列舉出來是，a₁，a₂，…，a_n，…，a_2n，…
數列{a_2n}中的項列舉出來是，a_n，a_2n，…，a_3n，…，
∵（a_n+1²-a_n²）=（a_n+2²-a_n+1²）=（a_n+3²-a_n+2²）=…=（a_2n²-a_2n-1²）=p
∴（a_n+1²-a_n²）+（a_n+2²-a_n+1²）+（a_n+3²-a_n+2²）+…+（a_2n²-a_2n-1²）=kp
∴（a_2n+1²-a_2n²）=2p
∴{a_2n}（k∈N^*，k為常數）是等方差數列；故④正確．
故選：B．

點評 此題考查學生靈活運用等差數列的性質及新定義等方差數列化簡求值，是一道中檔題．