Question

1．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使$\overrightarrow{DE}$=2$\overrightarrow{EF}$，則$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$的值為（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{11}{8}$
• D． $-\frac{5}{8}$

Answer 1

分析 可畫出圖形，并連接AE，從而有AE⊥BC，這便得出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}=0$，并由條件得出$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}$，而$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}$，代入$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}$，進行數量積的運算即可求出該數量積的值．

解答 解：如圖，連接AE，則：AE⊥BC；
$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{EF}$；
∴$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}$；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}）•\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BC}$
=$0+\frac{1}{2}|\overrightarrow{DE}||\overrightarrow{BC}|cos\frac{π}{3}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{8}$．
故選A．

點評 本題考查向量垂直的充要條件，向量加法的幾何意義，向量的數乘運算，以及向量數量積的運算及計算公式．