Question

9．已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在$x=-\frac{2}{3}$與x=1時都取得極值．
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ） 函數f（x）的單調區間及極值．

Answer 1

分析 （I）首先對f（x）求導，f'（-$\frac{2}{3}$）=0與f'（1）=0求出a與b值；
（II）直接利用導函數判斷原函數f（x）的單調性即可；

解答 解：（I）函數f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
f'（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{12}{9}$-$\frac{4}{3}a$+b=0，f'（1）=3+2a+b=0
計算得出：a=-$\frac{1}{2}$，b=-2．
（II）f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
當x∈（-∞，-$\frac{2}{3}$），f'（x）＞0，則f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$）上單調遞增；
當x∈（-$\frac{2}{3}$，1），f'（x）＜0，則f（x）在（-$\frac{2}{3}$，1）上單調遞減；
當x∈（1，+∞），f'（x）＞0，則f（x）在（1，+∞）單調遞增；
函數f（x）在x=-$\frac{2}{3}$處取得極大值f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{34}{27}$+c；
函數f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-$\frac{3}{2}$+c．
綜上，f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$），（1，+∞）上單調遞增，（-$\frac{2}{3}$，1）上單調遞減，
極大值為$\frac{34}{27}$+c，極小值為-$\frac{3}{2}$+c．

點評 本題主要考查了導函數零件與極值的關系，以及利用導數判斷函數的單調性，屬基礎題．