Question

15．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且（S_n-1）²=a_nS_n．
（Ⅰ）求S₁、S₂、S₃；
（Ⅱ）猜想S_n的表達式，并用數字歸納法證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由（S_n-1）²=a_nS_n，可得S_n=$\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$，即可求S₁，S₂，S₃；     
（Ⅱ）猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，再用數學歸納法證明．

解答 解：（Ⅰ）∵（S_n-1）²=a_nS_n，
∴（S_n-1）²=（S_n-S_n-1）S_n，
∴S_n=$\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$，
又（S₁-1）²=S₁²，
∴S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{2}{3}$，S₃=$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$
下面用數學歸納法證明：
1°當n=1時，S₁=$\frac{1}{2}$猜想正確；
2°假設當n=k時，猜想正確S_k+1=$\frac{1}{2-{S}_{k}}$，即S_k=$\frac{k}{k+1}$，
那么，n=k+1時，由S_k+1=$\frac{1}{2-{S}_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}$=$\frac{k+1}{k+1+1}$，猜想也成立，
綜上知S_n=$\frac{n}{n+1}$對一切自然數n均成立．

點評 本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查數學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．