Question

10．在數列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想數列{a_n}的通項公式的表達式，并用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式直接求：
（2）猜想數列{a_n}的通項公式為${a_n}=\frac{2}{n+1}$（n∈N^*）用數學歸納法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，且${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$（n∈N^*），
∴${a_2}=\frac{{2{a_1}}}{{{a_1}+2}}=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}$，${a_3}=\frac{{2{a_2}}}{{{a_2}+2}}=\frac{{2×\frac{2}{3}}}{{\frac{2}{3}+2}}=\frac{1}{2}$，
${a_4}=\frac{{2{a_3}}}{{{a_3}+2}}=\frac{{2×\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2}+2}}=\frac{2}{5}$．…（6分）
（Ⅱ）猜想數列{a_n}的通項公式為${a_n}=\frac{2}{n+1}$（n∈N^*）．…（9分）
用數學歸納法證明如下：
①當n=1時，左邊=a₁，右邊=$\frac{2}{1+1}=1={a_1}$，因此，左邊=右邊．
所以，當n=1時，猜想成立．…（10分）
②假設n=k（k＞1，k∈N^*）時，猜想成立，即${a_k}=\frac{2}{k+1}$，
那么n=k+1時，${a_{k+1}}=\frac{{2{a_k}}}{{{a_k}+2}}=\frac{{2×\frac{2}{k+1}}}{{\frac{2}{k+1}+2}}=\frac{2}{（k+1）+1}$．
所以，當n=k+1時，猜想成立．…（11分）
根據①和②，可知猜想成立．…（12分）

點評 本題考查了數列中的歸納法思想，及證明基本步驟，屬于基礎題．