Question

19．設雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的半焦距為c，（a，0）、（0，b）為直線l上兩點，已知原點到直線l的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$c，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$或2
• C． 2
• D． 2或 $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 先求出直線l的方程，利用原點到直線l的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$c，及又c²=a²+b²，求出離心率．

解答 解：∵直線l過（a，0），（0，b）兩點，
∴直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即bx+ay-ab=0，
∵原點到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，∴$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}c}{4}$．
又c²=a²+b²，∴3c^4-16a²（c²-a²）=0，即3e⁴-16e²+16=0；
故離心率為 e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或e=2；
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線的標準方程，以及簡單性質的應用，屬于中檔題．