Question

14．已知極坐標系與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ，直線l與圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求圓C和直線l的普通方程；
（Ⅱ）求線段MN的長度．

Answer 1

分析 （I）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t可得普通方程，圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標方程．
（II）把直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入圓C的方程可得：t²+2t=0，可得|MN|=|t₁-t₂|．

解答 解：（I）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t可得：$\sqrt{3}$x-y-4$\sqrt{3}$=0，
圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標方程：x²+y²=4x．
（II）把直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入圓C的方程可得：t²+2t=0，解得t₁=0，t₂=-2．
∴|MN|=|t₁-t₂|=2．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程的應用、一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．