Question

4．記${\left.{\overline{{a_n}{a_{n-1}}{a_{n-2}}…{a_1}{a_0}}}\right|_m}$=a₀+a₁×m+…+a_n-1×m^n-1+a_n×mⁿ，其中n≤m，m、n均為正整數，a_k∈{0，1，2，…，m-1}（k=0，1，2，…，n）且a_n≠0；
（1）計算${\left.{\overline{2016}}\right|_7}$=699；
（2）設集合A（m，n）=$\left\{{{{\left.{\left.x\right|x=\overline{{a_n}{a_{n-1}}{a_{n-2}}…{a_1}{a_0}}}\right|}_m}}\right\}$，則A（m，n）中所有元素之和為$\frac{{（{{m^{n+1}}+{m^n}-1}）（{{m^{n+1}}-{m^n}}）}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）${\left.{\overline{2016}}\right|_7}$=6+1×7+2×7³=699；
（2）分別求出含有a₁、…、a_n-1，a_n的項共有m•m^n-1（m-1）項及和，即可得出結論．

解答 解：（1）${\left.{\overline{2016}}\right|_7}$=6+1×7+2×7³=699；
（2）由題意，a₀、a₁、…、a_n-1，各有m種取法，a_n有m-1中取法．
a₀=0，1，2，…m-1時，a₁、…、a_n-1，各有m種取法，a_n有m-1中取法，
所以含有a₀的項共有m^n-1（m-1）項，和為（0+1+2+…+m-1）m^n-1（m-1）=$\frac{m（m-1）}{2}$m^n-1（m-1），
同理a₁=0，1，2，…m-1時，a₀、a₂、…、a_n-1，各有m種取法，a_n有m-1中取法，
所以含有a₁的項共有m•m^n-1（m-1）項，和為（0+1+2+…+m-1）m^n-1（m-1）=$\frac{m（m-1）}{2}$m•m^n-1（m-1），
…
a_n=1，2，…m-1時，a₀、a₁、…、a_n-1，各有m種取法，
所以含有a_n的項共有mⁿ•mⁿ項，和為（1+2+…+m-1）mⁿ•mⁿ=$\frac{m（m-1）}{2}$•mⁿ•mⁿ，
所以所有元素之和為$\frac{m（m-1）}{2}$m^n-1（m-1）（1+m+…+mⁿ）+$\frac{m（m-1）}{2}$mⁿmⁿ=$\frac{{（{{m^{n+1}}+{m^n}-1}）（{{m^{n+1}}-{m^n}}）}}{2}$．
故答案為：699；$\frac{{（{{m^{n+1}}+{m^n}-1}）（{{m^{n+1}}-{m^n}}）}}{2}$．

點評 本題考查新定義，考查數列的求和公式，考查學生分析解決問題的能力，難度大．