Question

20．（1）已知a，b，c均為正實數，且a+b+c=1，求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥9；
（2）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求證：$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式即可證明．
（2）用分析法證．欲證要證證：$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a，平方后尋求使之成立的充分條件即可．

解答 證明：（1）a，b，c均為正實數，a+b+c=1，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{c}$+$\frac{a+b+c}{b}$+$\frac{a+b+c}{a}$
=3+（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$）≥3+2+2+2=9，當且僅當a=b=c=$\frac{1}{3}$時取等號，
故：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥9；
（2）要證：$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a．
只需證b²-ac＜3a²，
∵a+b+c=0
即證b²+a（a+b）＜3a²，即證（a-b）（2a+b）＞0，
即證（a-b）（a-c）＞0．
∵a＞b＞c，
∴a-b＞0，a-c＞0
∴（a-b）•（a-c）＞0成立．
∴原不等式成立．

點評 本題考查了基本不等式的應用和分析法證明不等式，當用綜合法不易發現解題途徑時，我們可以從求證的不等式出發，逐步分析尋求使這個不等式成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實，從而得出要證的不等式成立，這種執果所因的思考和證明方法叫做分析法．