Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且a²=2b．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在實數m，使得直線l：x-y+m=0與橢圓交于A，B兩點，且線段AB的中點在圓x²+y²=5上，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$c，a²=2c²，由a²=b²+c²，a²=2b²，由a²=2b，即可求得a和b的值，即可求得橢圓的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為M（x₀，y₀），將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，即可求得m的取值范圍，由韋達定理及中點坐標公式，求得AB的中點M的坐標，代入圓x²+y²=5即可求得m的值，由m=±3，與m²＜3矛盾，故實數m不存在．

解答 解：（1）由橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$c，a²=2c²，
由a²=b²+c²，
∴a²=2b²，
由a²=2b．
∴b=1，a²=2，
橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為M（x₀，y₀）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²+2mx+m²-2=0，
∴△=（2m）²-4×3×（m²-2）＞0，即m²＜3，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2m}{3}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{m}{3}$，y₀=x₀+m=$\frac{2m}{3}$，
即M（-$\frac{m}{3}$，$\frac{m}{3}$）．
∵線段AB的中點M點在圓x²+y²=5上，
可得（-$\frac{m}{3}$）²+（$\frac{m}{3}$）²=5，
解得：m=±3，與m²＜3矛盾．
故實數m不存在．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理和中點坐標公式，考查存在性問題的解法，屬于中檔題．