Question

19．已知函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（I）判斷函數的奇偶性，并加以證明；
（II）用定義證明f（x）在（0，1）上是減函數；
（III）函數f（x）在（-1，0）上的單調性如何？（直接寫出答案，不要求寫證明過程）．

Answer 1

分析 （I）函數的定義域為{x|x≠0}，直接利用奇偶性定義證明即可；
（II）直接利用函數單調性定義證明即可；
（III）根據函數的性質（I）（II）可直接得出結果；

解答 解：（I）由題意知：x≠0；
∴函數的定義域為{x|x≠0}；
又∵$f（-x）=-x-\frac{1}{x}=-（x+\frac{1}{x}）=-f（x）$；
∴函數f（x）為奇函數；
（II）設0＜x₁＜x₂＜1則
$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}=（{x_1}-{x_2}）-\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）（1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}）$；
∵0＜x₁＜x₂＜1；
∴${x_1}-{x_2}＜0，1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＜0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）；
∴函數f（x）在（0，1）上是減函數；
（III）函數f（x）在（-1，0）上是減函數．

點評 本題主要考查了函數的奇偶性定義、單調性定義證明等函數基本性質，屬基礎題．