Question

20．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過點F與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A，B兩點，與雙曲線的其中一個交點為P，設坐標原點為O，若$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），且mn=$\frac{2}{9}$，則該雙曲線的離心率為$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 求出A、C坐標，然后求出P的坐標，代入雙曲線方程，利用mn=$\frac{2}{9}$，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），
代入$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$=（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$），
得P（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$），代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
整理可得4e²mn=1，
因為mn=$\frac{2}{9}$，
所以可得e=$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
故答案為$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．

點評 本題考查雙曲線的基本性質，考查雙曲線離心率的求法，考查計算能力，比較基礎．