Question

已知橢圓 

x2

4

+

y2

3

=1的左頂點為A₁，右焦點為F₂，點P為橢圓上一動點，則當

PF2

•

PF1

取最小值時，|

PF2

+

PF1

|的值為（　　）

• A、2

  2

• B、2

  3

• C、3
• D、

  13

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據向量的坐標得出

PF2

•

PA1

=（′1-x，-y）•（-2-x，-y）=（1-x）（-2-x）+y²=

1

4

（x+2）²，-2≤x≤2，利用函數性質，求出P（-2，0），

PF2

=（3，0），

PA1

=（0，0），
即可得出答案．

解答： 解：∵橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左頂點為A₁，右焦點為F₂，
∴左頂點為A₁（-2，0），右焦點為F₂（1，0），
∴

PF2

•

PA1

=（′1-x，-y）•（-2-x，-y）=（1-x）（-2-x）+y²①
∵點P為橢圓上一動點，
∴y²=3-

3

4

x²代入①得：

PF2

•

PA1

=

1

4

（x+2）²，-2≤x≤2，
∴|

PF2

•

PA1

當x=-2，

PF2

•

PA1

最小，y²=3-

3

4

×4=0，
∴P（-2，0），

PF2

=（3，0），

PA1

=（0，0）
∴|

PF2

+

PA1

|的值為3
故選：C．

點評：本考查向量與橢圓的幾何性質的結合，；利用函數的性質求解最大值，屬于中檔題．