Question

下列命題：
①若區間D內存在實數x使得f（x+1）＞f（x），則y=f（x）在D上是增函數；
②y=-

1

x

在定義域內是增函數；
③函數f（x）=

1-x2

|x+1|-1

圖象關于原點對稱；
④既是奇函數又是偶函數的函數一定是f（x）=0（x∈R）； 
⑤函數y=f（x+2）圖象與函數y=f（2-x）圖象關于直線x=2對稱；
其中正確命題的個數為（　�。�

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：①區間D內存在實數x使得f（x+1）＞f（x）時，y=f（x）在D上不一定是增函數；
②y=-

1

x

在區間（-∞，0）和（0，+∞）上是增函數，在定義域上不具有單調性；
③函數f（x）是定義域上的奇函數，圖象關于原點對稱；
④既是奇函數，又是偶函數的函數f（x）=0，但不一定x∈R；
⑤函數y=f（x+2）圖象與函數y=f（2-x）圖象不一定關于直線x=2對稱．

解答： 解：對于①，當區間D內存在實數x使得f（x+1）＞f（x）時，y=f（x）在D上不一定是增函數，∴①錯誤；
對于②，y=-

1

x

在區間（-∞，0），和（0，+∞）上是增函數，但在定義域上不具有單調性，∴②錯誤；
對于③，∵函數f（x）=

1-x2

|x+1|-1

，
∴

1-x2≥0 |x+1|-1≠0

，
解得-1≤x≤1且x≠0，
∴函數f（x）=

1-x2

|x+1|-1

的定義域為{x|-1≤x≤1，且x≠0}，
∴定義域關于原點對稱，
∴x+1≥0，∴|x+1|=x+1，
∴f（x）=

1-x2

x

；
∴f（-x）=-

1-x2

x

=-f（x），
∴函數f（x）是奇函數，
∴函數f（x）的圖象關于原點對稱，③正確；
對于④，若y=f（x）既是奇函數，又是偶函數，由定義可得f（x）=0，但不一定x∈R，
只要定義域關于原點對稱即可，∴④錯誤；
對于⑤，函數y=f（x+2）圖象與函數y=f（2-x）圖象不一定關于直線x=2對稱，如y=sinx，∴⑤錯誤．
綜上，正確的說法是③．
故答案為：B．

點評：本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，解題時應根據題意，對每一個選項進行分析，以便得出正確的結果，是中檔題．