Question

點P為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）在第一象限的弧上任意一點，過P引x軸，y軸的平行線，分別交直線y=-

b

a

x于Q、R，交y軸、x軸于M、N兩點，記△OMQ與△ONR的面積分別為S₁，S₂，當ab=2時，S₁²+S₂²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設設P點的坐標為（n，m），（n＞0，m＞0），由題意分別表示出Q、R，M、N的坐標，再求出S₁，S₂的面積，再根據點P再橢圓上，利用基本不等式求得mn≤1，
再利用基本不等式求出S₁²+S₂²≥2S₁•S₂≥

1

2

，問題得以解決

解答： 解：設P點的坐標為（n，m），（n＞0，m＞0）
∵過P引x軸，y軸的平行線，分別交直線y=-

b

a

x于Q、R，交y軸、x軸于M、N兩點，
∴點Q的坐標為（-

am

b

，m），點R的坐標為（n，-

bn

a

），點M的坐標為（0，m），點N的坐標為（n，0），
∴|NR|=

bn

a

，|ON|=n，|MQ|=

am

b

，|OM|=m，
∴S₁=S_△OMQ=

1

2

×m×

am

b

=

am2

2b

，S₂=S_△ONR=

1

2

×n×

bn

a

=

bn2

2a

，
∴S₁•S₂=

m2n2

4

，
∵P點在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
∴

n2

a2

+

m2

b2

=1，
∴1=

n2

a2

+

m2

b2

≥2•

nm

ab

=mn，
即mn≤1，
∴S₁²+S₂²≥2S₁•S₂=

m2n2

2

≥

1

2

，
故S₁²+S₂²的最小值為

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題考查了橢圓的有關知識，以及基本不等式的應用，培養了學生的轉化能力，運算能力，屬于中檔題．